facebook-icon tiktok-icon youtube-icon

Natężenie pola elektrycznego. Rozkład ciągły. Obręcz

Treść zadnia: Podczas doświadczenia naładowałeś jednorodnie kołową obręcz o promieniu „δ” ładunkiem dodatnim o gęstości liniowej τ C/m. Układ wygląda tak jak na rysunku poniżej. Oblicz jakie jest natężenie pola elektrycznego w miejscu o współrzędnych (0,0,h).

W tym zadaniu mamy do czynienia z rozkładem ciągłym. Jak sobie wyobrazić rozkład ciągły? Co to znaczy? Najlepiej po prostu zapamiętać, że w przypadku rozkładu ciągłego na danym elemencie mamy bardzo, bardzo dużą ilość ładunków. Do tej pory analizowaliśmy tylko jeden ładunek lub maksymalnie kilka. W tych zadaniach będziemy analizować układy, na których jest zgromadzona bardzo duża ilość ładunku. Z tym jest związana podstawowa różnica, którą widać na pierwszy rzut oka,  już na etapie czytania treści zadania. Do tej pory w treści zadania miałeś podawaną wartość ładunku prawda? Od teraz w tego typu zadaniach będzie podawana gęstość ładunku, czyli informacja mówiąca o ilości ładunku na m, m2 lub m3.

Tak jak zawsze w tego typu zadaniach, żeby to obliczyć trzeba będzie układ scałkować. W tym celu na powierzchni pierścienia musimy wydzielić nieskończenie mały wycinek. Ten nieskończenie mały wycinek tego pierścienia ma na swojej powierzchni zgromadzoną nieskończenie małą wartość ładunku, która z kolei powoduje powstanie nieskończenie małego natężenia pola elektrycznego w żółtym punkcie. Zielona strzałka pokazuje kierunek i zwrot tego natężenia.

Wszelkiego rodzaju koła, pierścienie czy kule są symetryczne. Co to znaczy? To oznacza to, że dokładnie po drugiej stronie pierścienia jest również nieskończenie mały element, który generuje dokładnie taką samą wartość natężenia pola elektrycznego,  ale o przeciwnym zwrocie na osi X i Y. To znaczy, że jak rozłożymy zielone wektory na składowe, to składowe na osi X i Y skrócą się. Zostaną tylko składowe na osi Z.

Właśnie dlatego od razu możemy napisać, że składowe  Ex i Ey równają się zero.

Idźmy tym samym tokiem myślenia co w zadaniu poprzednim link Zadania elektrostatyka Obliczmy najpierw długość wektora , a dopiero później zastanowimy się nad kierunkiem i zwrotem. Długość wektora obliczymy z poniższego wzoru. Dodatkowo od razu wykorzystałem informację odnośnie gęstości ładunku. Jak wymnożę gęstość ładunku razy nieskończenie mały wycinek to otrzymam nieskończenie małą wartość ładunku.  Trzeba teraz wstawić te przekształcenia  do wzoru na natężenie.

Po podstawieniu wygląda to tak:

Co my tutaj otrzymaliśmy? Otrzymaliśmy wzór, z którego moglibyśmy obliczyć długość wektora dE. Z tym, że my mamy obliczyć wektor natężenia pola elektrycznego prawda? Ustaliliśmy, że składowe na osi X i Y się zerują musimy jeszcze obliczyć składową na osi Z , czyli długość cienia albo inaczej mówiąc rzut wektora dE na osi Z. Patrząc na rysunek widać ewidentnie, że składową na osi Z można obliczyć korzystając z kosinusa.

Z poniższego wyrażenia moglibyśmy obliczyć składową na osi Z.

Z treści zadania nie znamy „r” ani kąta. Musimy to zastąpić przez inne wyrażenia. Poniżej przekształcenia.

Ok. Można już podstawić wyrażenia z czerwonej ramki do wcześniejszego wzoru. Po wykonaniu podstawień otrzymujemy wzór na dEz.

Wszystko byłoby już fajnie, ale z tego wzoru to my, co najwyżej, obliczymy składową na osi z nieskończenie małego wektora dE. A my przecież mamy obliczyć natężenie pola elektrycznego pochodzące od całego pierścienia , a nie tylko od jego nieskończenie małego wycinka. W takiej sytuacji oczywiście musimy zsumować wszystkie nieskończenie małe natężenia pochodzące od wszystkich nieskończenie małych elementów. Do sumowania nieskończenie mały elementów służy oczywiście całka.

 

Poniżej rozwiązanie

 

Zapraszam do mojego kursu z elektrostatyki lub z teorii pola elektromagnetycznego. Tam rozwiązałem znacznie więcej tego typu zadań.

https://fizyka-kursy.pl/kurs/teoria-pola-elektromagnetycznego-cz-1

https://fizyka-kursy.pl/kurs/elektrostatyka

Oprócz tego to zadanie znajdziesz również u mnie na YouTube.  Link poniżej

https://www.youtube.com/watch?v=qgHF_aSVzhE&t=9s

 


Powiązane wpisy:


Kategoria: ZADANIA Z FIZYKI