Prawo Gaussa od nieskończenie długiej nici
Poniżej przedstawiłem Tobie zadanie z pełnym rozwiązaniem, w którym zostało wykorzystane prawo Gaussa. Zanim jednak zajmiesz się tym zadaniem to zapraszam do mojego wcześniejszego artykułu, w którym szczegółowo wytłumaczyłem co to jest https://fizyka-kursy.pl/blog/prawo-gaussa
Treść zadania: Oblicz wartość natężenia pola elektrycznego w odległości r od nieskończenie długiej nici. W obliczeniach wykorzystaj prawo Gaussa. Nić jest naładowana dodatnim jednorodnym ładunkiem liniowym o gęstości liniowej t.
Dokładnie to samo zadanie obliczyliśmy w kursie Teoria pola elektromagnetycznego cz.1. Skorzystaliśmy tam z tradycyjnej metody tj. ze wzoru na natężenie pola elektrycznego. Trzeba było tam obliczyć naprawdę sporo całek, granice i inne tego typu. Dzisiaj zrobimy to korzystając z Prawa Gaussa. Dzięki tej metodzie można to samo zadanie rozwiązać znacznie szybciej:) Ok. Zajmijmy się już rozwiązaniem tego zadania.
W tym zadaniu mamy do czynienia z nieskończenie długą nicią (rysunek poniżej).
Jeśli chcemy obliczyć wartość natężenia pola elektrycznego w odległości r od nici korzystając z Prawa Gaussa to musimy zbudować wokół niej obszar zamknięty po to żeby w środku w zamkniętej przestrzeni zamknąć ładunek zgromadzony na nici (taki jest warunek konieczny w tym prawie). Jaki rodzaj ładunku można zamknąć w przestrzeni zamkniętej? Odpowiedź jest prosta. Może to być dowolna postać ładunku np. ładunek punktowy, linowy ciągły, powierzchniowy a nawet objętościowy.
Wiemy, że mamy skorzystać z prawa Gaussa, dlatego napiszmy wzór na prawo Gaussa, to na pewno nam się przyda.
Całkowita wartość, strumienia czyli to co mamy po lewej stronie równania musi być równa całkowitej wartości ładunku zgromadzonemu wewnątrz powierzchni zamkniętej, podzielone przez przenikalność elektryczną próżni. No dobrze, żeby obliczyć z tego wzoru wartość natężenia pola elektrycznego to na pewno musimy jakoś tę całkę rozpisać i spróbować z niej wyciągnąć wartość natężenia pola elektrycznego. Oprócz tego musimy obliczyć ile jest równa wartość ładunku. Z treści zadania znamy gęstość liniową. To są dwie rzeczy, które teraz musimy zrobić. Jak już rozpiszemy całkę i obliczymy Q to następnie wrócimy do wzoru na Prawo Gaussa i podstawimy do niego wyprowadzone wzory.
W jaki sposób obliczyć wartość ładunku? Jeśli znamy gęstość liniową ładunku jaka jest zgromadzona na lince to wystarczy wymnożyć gęstość z długością L naszego walca.
Zacznijmy od tego co jest łatwiejsze, czyli od ładunku. Wartość ładunku obliczymy mnożąc gęstość liniową razy długość walca.
Q=t*L
Z ładunkiem poszło dosyć łatwo :) Teraz spróbujmy uporać się ze strumieniem. W tym celu nazwijmy sobie każdą ścianę. SP jest to pole powierzchni podstawy. Walec ma oczywiście dwie podstawy. Sb jest to pole powierzchni bocznej.
Na całkowitą wartość strumienia jaka przepływa przez układ składa się strumień przepływający przez dwie powierzchnie podstawy i przez powierzchnię boczną.
W tym zadaniu mamy obliczyć wartość natężenia pola elektrycznego, natomiast w powyższym wzorze na strumień jest wektor natężenia, a nie wartość natężenia. Z tego powodu warto rozpisać iloczyn skalarny.
Dzięki temu zabiegowi po rozpisaniu iloczynu skalarnego pojawiła się tutaj wartość natężenia pola elektrycznego, czyli to co potrzebujemy.
Następnie musimy ustalić kąt między wektorami natężenia a wektorami powierzchni. Zobacz na zdjęcie poniżej.
Na powierzchniach podstawy naszego walca kąt między czerwonymi wektorami a zielonymi jest równy 90o, natomiast na powierzchni bocznej 0o.
Gdy za kąt wstawimy 90o to kosinus wówczas przyjmuje wartość równą 0, natomiast gdy kąt jest równy 0o to kosinus wówczas jest równy 1.Dzięki temu zapis troszeczkę się upraszcza.
Kolejne co zrobimy to usuniemy w końcu z tego zapisu po prawej stronie równania pionowe kreseczki i strzałeczki. Zapis od razu będzie bardziej czytelny :) Następne wyrzucamy przed znak całki E (wartość natężenia pola elektrycznego). Wartość natężenia się nie zmienia. Do scałkowania nam zostaje ds. To jest całka powierzchniowa jednostkowa. Zawsze będzie bardzo nas cieszyło gdy do scałkowania otrzymamy ds. Wynikiem takiego całkowania jest pole powierzchni analizowanego elementu. Tutaj analizujemy powierzchnię boczną, więc jest to równe polu powierzchni bocznej.
Ok. A z czego to wynika, że taka całka jest równa polu analizowanego elementu? Da się to jakoś logicznie wytłumaczyć? Pewnie! W całkowaniu dzielimy analizowaną powierzchnię (w tym przypadku powierzchnie boczną) na nieskończenie małe elementy. Jak zsumujemy (scałkujemy) wszystkie nieskończenie małe elementy to co otrzymamy? Otrzymamy pole powierzchni bocznej:)
Jak można obliczyć pole powierzchni bocznej walca? Pamiętasz jeszcze z matematyki?
Jak przetniemy i rozwiniemy walec to otrzymamy prostokąt (patrz na rysunek poniżej). Krótsza krawędź jest równa obwodowi koła naszej rurki. Obwód koła można obliczyć mnożąc 2p*r. Pole powierzchni prostokąta otrzymujemy mnożąc długość obu krawędzi.
Mamy już pole powierzchni bocznej więc w miejsce całki wstawiamy nasz wynik.
Udało nam się na samym początku wyprowadzić wzór na wartość ładunku. Teraz udało nam się wyprowadzić wzór na strumień. Następnie musimy podstawić te wielkości do wzoru na Prawo Gausa i dokończyć obliczenia.
Wyszło, że wartość natężenia dla tego przepadku można obliczyć z powyższego wzoru :)
To zadanie znajdziesz na moim kanale YouTube.
https://www.youtube.com/watch?v=M_41FRjReIk&t=22s
Więcej na ten temat znajdziesz w moim kursie z teorii pola elektromagnetycznego cza.2
https://fizyka-kursy.pl/kurs/teoria-pola-elektromagnetycznego-cz-1