Jak Obliczyć Pole Elektryczne Dookoła Nieskończonej Nici? Prawo Gaussa na Wesoło!
Chcesz zrozumieć, jak działa prawo Gaussa na nieskończenie długiej, naładowanej nici? Jesteś w dobrym miejscu! Dziś pokażemy, jak to zrobić szybko, sprytnie i z uśmiechem.
Co to jest Prawo Gaussa?
Jeśli jeszcze nie poznałeś szczegółów tego prawa, to rzuć okiem na mój wcześniejszy artykuł o prawie Gaussa: Prawo Gaussa. A teraz przejdźmy do sedna – jak prawo Gaussa ułatwia obliczenia pola elektrycznego?
Zadanie: Pole Elektryczne w Odległości r od Nici
Treść zadania: Oblicz wartość natężenia pola elektrycznego w odległości r od nieskończenie długiej nici. W obliczeniach wykorzystaj prawo Gaussa. Nić jest naładowana dodatnim jednorodnym ładunkiem liniowym o gęstości liniowej t.
Sytuacja Wyjściowa
Mamy nieskończenie długą nić, naładowaną dodatnio. Ładunek jest rozłożony równomiernie – mówi się o gęstości liniowej t. Chcemy obliczyć natężenie pola elektrycznego w odległości r od nici. Ale spokojnie, nie będziemy żmudnie liczyć całek ani granic, bo z pomocą przychodzi nam… Prawo Gaussa! Dzięki niemu nasze obliczenia staną się szybkie i przyjemne. Dokładnie to samo zadanie obliczyliśmy w kursie Teoria pola elektromagnetycznego cz.1. Skorzystaliśmy tam z tradycyjnej metody tj. ze wzoru na natężenie pola elektrycznego. Trzeba było tam obliczyć naprawdę sporo całek, granice i inne tego typu. Dzisiaj zrobimy to korzystając z Prawa Gaussa. Dzięki tej metodzie można to samo zadanie rozwiązać znacznie szybciej:) Ok. Zajmijmy się już rozwiązaniem tego zadania.
W tym zadaniu mamy do czynienia z nieskończenie długą nicią (rysunek poniżej).
Tworzymy Powierzchnię Gaussa
Prawo Gaussa wymaga zamkniętej powierzchni, aby uchwycić cały ładunek zgromadzony na nici. Dlatego budujemy wokół nici walec, który „zamknie” jej ładunek. Ładunek liniowy? Spoko! Gaussowi to nie robi różnicy – można zamknąć ładunki punktowe, powierzchniowe czy objętościowe.
Wzór na Prawo Gaussa
Wiemy, że mamy skorzystać z prawa Gaussa, dlatego napiszmy wzór na prawo Gaussa, to na pewno nam się przyda.
Całkowita wartość, strumienia czyli to co mamy po lewej stronie równania musi być równa całkowitej wartości ładunku zgromadzonemu wewnątrz powierzchni zamkniętej, podzielone przez przenikalność elektryczną próżni. No dobrze, żeby obliczyć z tego wzoru wartość natężenia pola elektrycznego to na pewno musimy jakoś tę całkę rozpisać i spróbować z niej wyciągnąć wartość natężenia pola elektrycznego. Oprócz tego musimy obliczyć ile jest równa wartość ładunku. Z treści zadania znamy gęstość liniową. To są dwie rzeczy, które teraz musimy zrobić. Jak już rozpiszemy całkę i obliczymy Q to następnie wrócimy do wzoru na Prawo Gaussa i podstawimy do niego wyprowadzone wzory.
Obliczamy Ładunek
W jaki sposób obliczyć wartość ładunku? Jeśli znamy gęstość liniową ładunku jaka jest zgromadzona na lince to wystarczy wymnożyć gęstość z długością L naszego walca.
Zacznijmy od tego co jest łatwiejsze, czyli od ładunku. Wartość ładunku obliczymy mnożąc gęstość liniową razy długość walca.
Q=t*L
Strumień Przez Powierzchnię Gaussa
Z ładunkiem poszło dosyć łatwo :) Teraz spróbujmy uporać się ze strumieniem. W tym celu nazwijmy sobie każdą ścianę. SP jest to pole powierzchni podstawy. Walec ma oczywiście dwie podstawy. Sb jest to pole powierzchni bocznej.
Na całkowitą wartość strumienia jaka przepływa przez układ składa się strumień przepływający przez dwie powierzchnie podstawy i przez powierzchnię boczną.
W tym zadaniu mamy obliczyć wartość natężenia pola elektrycznego, natomiast w powyższym wzorze na strumień jest wektor natężenia, a nie wartość natężenia. Z tego powodu warto rozpisać iloczyn skalarny.
Dzięki temu zabiegowi po rozpisaniu iloczynu skalarnego pojawiła się tutaj wartość natężenia pola elektrycznego, czyli to co potrzebujemy.
Następnie musimy ustalić kąt między wektorami natężenia a wektorami powierzchni. Zobacz na zdjęcie poniżej.
Na powierzchniach podstawy naszego walca kąt między czerwonymi wektorami a zielonymi jest równy 90o, natomiast na powierzchni bocznej 0o.
Gdy za kąt wstawimy 90o to kosinus wówczas przyjmuje wartość równą 0, natomiast gdy kąt jest równy 0o to kosinus wówczas jest równy 1.Dzięki temu zapis troszeczkę się upraszcza.
Kolejne co zrobimy to usuniemy w końcu z tego zapisu po prawej stronie równania pionowe kreseczki i strzałeczki. Zapis od razu będzie bardziej czytelny :) Następne wyrzucamy przed znak całki E (wartość natężenia pola elektrycznego). Wartość natężenia się nie zmienia. Do scałkowania nam zostaje ds. To jest całka powierzchniowa jednostkowa. Zawsze będzie bardzo nas cieszyło gdy do scałkowania otrzymamy ds. Wynikiem takiego całkowania jest pole powierzchni analizowanego elementu. Tutaj analizujemy powierzchnię boczną, więc jest to równe polu powierzchni bocznej.
Ok. A z czego to wynika, że taka całka jest równa polu analizowanego elementu? Da się to jakoś logicznie wytłumaczyć? Pewnie! W całkowaniu dzielimy analizowaną powierzchnię (w tym przypadku powierzchnie boczną) na nieskończenie małe elementy. Jak zsumujemy (scałkujemy) wszystkie nieskończenie małe elementy to co otrzymamy? Otrzymamy pole powierzchni bocznej:)
Jak można obliczyć pole powierzchni bocznej walca? Pamiętasz jeszcze z matematyki?
Jak przetniemy i rozwiniemy walec to otrzymamy prostokąt (patrz na rysunek poniżej). Krótsza krawędź jest równa obwodowi koła naszej rurki. Obwód koła można obliczyć mnożąc 2p*r. Pole powierzchni prostokąta otrzymujemy mnożąc długość obu krawędzi.
Mamy już pole powierzchni bocznej więc w miejsce całki wstawiamy nasz wynik.
Udało nam się na samym początku wyprowadzić wzór na wartość ładunku. Teraz udało nam się wyprowadzić wzór na strumień. Następnie musimy podstawić te wielkości do wzoru na Prawo Gausa i dokończyć obliczenia.
Wyszło, że wartość natężenia dla tego przepadku można obliczyć z powyższego wzoru :)
Podsumowanie
Dzięki tej metodzie Gaussa możesz szybko obliczyć natężenie pola elektrycznego wokół nieskończonej nici – szybko i bezboleśnie. Ciekawy tego zadania w wersji wideo? Sprawdź na moim kanale YouTube: Pole elektryczne wokół nici - film.
Na więcej ciekawostek zapraszam również do mojego kursu „Teoria Pola Elektromagnetycznego” cz. 2: Zobacz kurs.
