Prawo Gaussa: Elektryczne Czary-Mary
Co to jest Prawo Gaussa i dlaczego warto je poznać?
Drogi Czytelniku! Przyznam się szczerze i powiem Ci, że już dosyć długo siedzę nad tym zagadnieniem i zastanawiam się, jak szybko i sprawnie wytłumaczyć Prawo Gaussa. No więc zaczniemy od podstaw, czyli od wzoru. Ale spokojnie, obiecuję, że będzie to łatwiejsze niż liczenie owiec przed snem!
Definicja Prawa Gaussa
Definicja mówi, że strumień pola elektrycznego ( to co jest po lewej stronie równania) jest równe ładunkowi zgromadzonemu wewnątrz zamkniętej przestrzeni , podzielone przez przenikalność elektryczną próżni.
Troszeczkę się już zdradziłem powyższą definicją, bo po jej przeczytaniu wiesz już, że to co stoi po lewej stronie tego równania (przy tej dziwnej całeczce z kółeczkiem) to jest strumień. Tak więc żeby dobrze zrozumieć prawo Gaussa to trzeba najpierw wiedzieć co to jest strumień. Teraz to dokładnie wytłumaczę i wyjaśnię dlaczego przy nim musi stać jakaś dziwna całeczka.
Strumień – Co to za cudak?
Zanim w ogóle ruszymy dalej, musimy wyjaśnić, co to jest strumień. Wyobraź sobie, że to taki magiczny strumień wody z kranu. Im większa powierzchnia otworu kranu i im więcej wody wypływa, tym większy strumień. Podobnie jest z polem elektrycznym. Mamy więc strumień wody w kranie, strumień rzeki, a teraz dorzucamy do tego strumień pola elektrycznego.
Jak obliczyć strumień?
Gdybyśmy chcieli oszacować jaki strumień przepływa przez zieloną ramkę (zdjęcie poniżej) to wystarczy wymnożyć wartość natężenia pola elektrycznego z polem powierzchni. Proste jak budowa cepa, prawda?
ΦE=E*S
Co się dzieje, gdy ramka jest pod kątem?
Sytuacja troszeczkę bardziej się komplikuje gdy ramka jest ustawiona pod kątem. Patrząc na rysunek poniżej nie trudno zauważyć, że przez ramkę ustawioną jak poniżej przepływa mniejszy strumień pola elektrycznego niż we wcześniejszym przypadku (ramka obejmuje tylko dwie linie sił pola).
Ok. A jak można byłoby wyrazić to za pomocą wzoru? W takiej sytuacji oczywiście najpierw trzeba wiedzieć o jaki kąt przekręciliśmy powierzchnię względem linii sił pola elektrycznego. Żeby to dobrze zrobić to w tym celu musimy powierzchnię opisać za pomocą wektora normalnego. Wektor normalny zawsze jest pod kątem prostym do danej powierzchni. Mając już wektor normalny do powierzchni bez problemu można ustalić kąt między wektorem normalnym a wektorami sił pola.
Dzięki temu doskonale widać, że powierzchnia została obrócona o kąt alfa, a strumień w takim przypadku można obliczyć mnożąc wartość natężenia pola elektrycznego z polem powierzchni i z kosinusem kąta alfa między wektorami. ΦE=E*S*cosa
Dlaczego kosinus?
Dlaczego akurat w powyższym wzorze zastosowałem kosinus?
Najlepiej to zrozumieć obserwując sytuacje skrajce. Takim skrajnym przypadkiem jest sytuacja gdy powierzchnia jest pod kątem 90o do linii sił pola elektrycznego.
Zwróć uwagę, że w takim przypadku wektor normalny do powierzchni i linie sił pola elektrycznego mają ten sam zwrot, kąt między nimi jest równy 0o. Ile jest równy kosinus 0o? Kosinus 0o jest równy 1. Z tego wynika, że gdy ramka jest pod kątem prostym do linii sił pola elektrycznego to wzór na strumień musi być równy tyle: ΦE=E*S .
Kolejnym skrajnym przypadkiem jest sytuacja gdy ramka leży wzdłuż linii sił pola wówczas oczywistym jest, że strumień jaki przepływa przez ramkę jest równy zero, a teraz udowodnimy to obliczeniami. Sprawdźmy czy ze wzoru z kosinusem też to wynika. No więc tak, wektor normalny do powierzchni tworzy kąt 90o z liniami sił pola elektrycznego. Gdy za kąt w kosinusie wstawię 90o to całe wyrażeni nam się wyzeruje i wyjdzie dokładnie to co już ustaliliśmy w takim przypadku. Strumień musi być równy zero. ΦE=E*S*cos90o=0 Myślę, że teraz rozumiesz, dlaczego we wzorze na strumień pojawił się kosinus kąta alfa między wektorami :)
Iloczyn skalarny – matematyczny czarodziej
W pojęciu strumienia cały czas wykorzystuje wektory, dlatego myślę, że Cię nie zaskoczę, że strumień można również zapisać za pomocą wektorów. Wystarczy tylko zrobić iloczyn skalarny wektora natężenia pola elektrycznego i wektora powierzchni.
Iloczyn skalarny można zapisać mnożąc długość wektora natężenia pola elektrycznego z długością wektora powierzchni ( pole powierzchni), przez którą przepływa pole elektryczne, razy kosinus kąta alfa między dwoma wektorami.
Po rozpisaniu zapisu wektorowego otrzymujemy dokładnie taki sam wzór jak do tej pory.
Całki – sumowanie nieskończoności
Ok. Teraz przejdźmy o 1 level wyżej. Spróbuję wytłumaczyć dlaczego przy strumieniu stoi dziwna całka z kółeczkiem. Do tego celu posłużę się taką czapeczką jak na zdjęciu poniżej. Zastanowimy się jaki strumień przez taką powierzchnię.
W takim przypadku trzeba powierzchnię podzielić na nieskończenie małe elementy. Jak widzisz na każdym takim nieskończenie małym elemencie mamy wektor powierzchni i wektor natężenia pola elektrycznego. Gdybyśmy zakończyli tylko na tym nieskończenie małym elemencie to otrzymalibyśmy strumień jaki przepływa tylko przez ten nieskończenie mały element. My natomiast chcemy otrzymać całkowitą wartość strumienia jaka przepływa przez cała czapeczkę.
Co w takiej sytuacji należy zrobić? Trzeba oczywiście zsumować wszystkie takie strumienie od wszystkich nieskończenie małych elementów. Wówczas otrzymamy całkowitą wartość strumienia od całego obiektu. Jakie narzędzie w matematyce służy do sumowania nieskończenie małych elementów? Do tego służy całka. Można to obliczyć z poniższego wzoru.
W tym kursie będziemy obliczać strumienie również od powierzchni zamkniętych. To co warto pamiętać to to, że wektor powierzchni zawsze musi być skierowany na zewnątrz. Po drugie jeśli całkujemy po obszarze zamkniętym to na całce pojawia się kółeczko.
Podsumowanie – Prawo Gaussa w pigułce
Prawo Gaussa mówi, że strumień elektryczny jest równy całkowitej wartości ładunku zgromadzonego wewnątrz zamkniętej powierzchni, podzielonej przez przenikalność elektryczną próżni. To jak elektryczne czary-mary!
Chcesz wiedzieć więcej?
Więcej na ten temat znajdziesz w moim kursie z teorii pola elektromagnetycznego cz. 2
