Prawo Gaussa

Drogi Czytelniku, przyznam się szczerze i powiem Ci, że już dosyć długo siedzę nad tym zagadnieniem i zastanawiam się jak szybko i sprawnie wytłumaczyć prawo Gaussa. Oczywiście powinienem zacząć od pokazania wzoru.

Definicja mówi, że strumień pola elektrycznego ( to co jest po lewej stronie równania) jest równe ładunkowi zgromadzonemu wewnątrz zamkniętej przestrzeni , podzielone przez przenikalność elektryczną próżni.

Troszeczkę się już zdradziłem powyższą definicją, bo po jej przeczytaniu wiesz już, że to co stoi po lewej stronie tego równania (przy tej dziwnej całeczce z kółeczkiem) to jest strumień. Tak więc żeby dobrze zrozumieć prawo Gaussa to trzeba najpierw wiedzieć  co to jest strumień. Teraz to dokładnie wytłumaczę i wyjaśnię dlaczego przy nim musi stać jakaś dziwna całeczka.

Strumień jest to pojęcie dosyć powszechne. Mamy w końcu strumień wody w kranie czy strumień rzeki. Im większa powierzchnia otworu kranu i im większa ilość wody wypływa, tym większy strumień. Teraz chyba już wiadomo, że strumień jest zależy od czynnika, który analizujemy (woda, natężenie pola elektrycznego) i od pola powierzchni elementu, z którego wypływa dany czynnik.  

Gdybyśmy chcieli oszacować jaki strumień przepływa przez zieloną ramkę (zdjęcie poniżej) to wystarczy wymnożyć wartość natężenia pola elektrycznego z polem powierzchni.

Φ_E=E*S

Sytuacja troszeczkę bardziej się komplikuje gdy ramka jest ustawiona pod kątem. Patrząc na rysunek poniżej nie trudno zauważyć, że przez ramkę ustawioną jak poniżej przepływa mniejszy strumień pola elektrycznego niż  we wcześniejszym przypadku (ramka obejmuje tylko dwie linie sił pola).

Ok. A jak można byłoby wyrazić to za pomocą wzoru? W takiej sytuacji oczywiście najpierw trzeba wiedzieć o jaki kąt przekręciliśmy powierzchnię względem linii sił pola elektrycznego. Żeby to dobrze zrobić to w tym celu musimy powierzchnię opisać za pomocą wektora normalnego. Wektor normalny zawsze jest pod kątem prostym do danej powierzchni. Mając już wektor normalny do powierzchni bez problemu można ustalić kąt między wektorem normalnym a wektorami sił pola.

Dzięki temu doskonale widać, że powierzchnia została obrócona o kąt alfa, a strumień w takim przypadku można obliczyć mnożąc wartość natężenia pola elektrycznego z polem powierzchni i z kosinusem kąta alfa między wektorami.  Φ_E=E*S*cosa

Dlaczego akurat w powyższym wzorze zastosowałem kosinus?

Najlepiej to zrozumieć obserwując sytuacje skrajce. Takim skrajnym przypadkiem jest sytuacja gdy powierzchnia jest pod kątem 90^o do linii sił pola elektrycznego.

Zwróć uwagę, że w takim przypadku wektor normalny do powierzchni i linie sił pola elektrycznego mają ten sam zwrot, kąt między nimi jest równy 0^o.  Ile jest równy kosinus 0^o? Kosinus 0^o jest równy 1. Z tego wynika, że gdy ramka jest pod kątem prostym do linii sił pola elektrycznego to wzór na strumień musi być równy tyle:  Φ_E=E*S .

Kolejnym skrajnym przypadkiem jest sytuacja gdy ramka leży wzdłuż linii sił pola wówczas oczywistym jest, że strumień jaki przepływa przez ramkę jest równy zero, a teraz udowodnimy to obliczeniami. Sprawdźmy czy ze wzoru z kosinusem też to wynika. No więc tak, wektor normalny do powierzchni tworzy kąt 90^o z liniami sił pola elektrycznego. Gdy za kąt w kosinusie wstawię 90^o to całe wyrażeni nam się wyzeruje i wyjdzie dokładnie to co już ustaliliśmy w takim przypadku. Strumień musi być równy zero. Φ_E=E*S*cos90^o=0 Myślę, że teraz rozumiesz, dlaczego we wzorze na strumień pojawił się kosinus kąta alfa między wektorami :)

W pojęciu strumienia cały czas wykorzystuje wektory, dlatego myślę, że Cię nie zaskoczę, że strumień można również zapisać za pomocą wektorów. Wystarczy tylko zrobić iloczyn skalarny wektora natężenia pola elektrycznego i wektora powierzchni.

Iloczyn skalarny można zapisać mnożąc długość wektora natężenia pola elektrycznego z długością wektora powierzchni ( pole powierzchni), przez którą przepływa pole elektryczne, razy kosinus kąta alfa między dwoma wektorami.  

Po rozpisaniu zapisu wektorowego otrzymujemy dokładnie taki sam wzór jak do tej pory.

Ok. Teraz przejdźmy o 1 level wyżej. Spróbuję wytłumaczyć dlaczego przy strumieniu stoi dziwna całka z kółeczkiem. Do tego celu posłużę się taką czapeczką jak na zdjęciu poniżej. Zastanowimy się jaki strumień przez taką powierzchnię.

W takim przypadku trzeba powierzchnię podzielić na nieskończenie małe elementy. Jak widzisz na każdym takim nieskończenie małym elemencie mamy wektor powierzchni i wektor natężenia pola elektrycznego. Gdybyśmy zakończyli tylko na tym nieskończenie małym elemencie to otrzymalibyśmy strumień jaki przepływa tylko przez  ten nieskończenie mały element. My natomiast chcemy otrzymać całkowitą wartość strumienia jaka przepływa przez cała czapeczkę.

 Co w takiej sytuacji należy zrobić? Trzeba oczywiście zsumować wszystkie takie strumienie od wszystkich nieskończenie małych elementów. Wówczas otrzymamy całkowitą wartość strumienia od całego obiektu. Jakie narzędzie w matematyce służy do sumowania nieskończenie małych elementów? Do tego służy całka. Można to obliczyć z poniższego wzoru.

W tym kursie będziemy obliczać strumienie również od powierzchni zamkniętych. To co warto pamiętać to to, że wektor powierzchni zawsze musi być skierowany na zewnątrz. Po drugie jeśli całkujemy po obszarze zamkniętym to na całce pojawia się kółeczko.

Także mając już komplet informacji jeszcze raz wróćmy do Prawa Gaussa.

A więc tak, strumień elektryczny jest równy całkowitej wartości ładunku jaka jest zgromadzona wewnątrz powierzchni zamkniętej podzielone przez przenikalność elektryczną próżni.

Więcej na ten temat znajdziesz w moim kursie z teorii pola elektromagnetycznego cz.2

https://fizyka-kursy.pl/kurs/teoria-pola-elektromagnetycznego-cz-1