Jak Obliczyć Reakcje w Podporach, Moment Gnący, Siły Tnące i Siły Osiowe w Belce? Kompletny Przewodnik!
1. Wstęp: O co chodzi z tymi reakcjami i siłami?
Każdy, kto zaczyna przygodę z mechaniką, na pewno spotkał się z zadaniami z belkami. Reakcje w podporach, momenty gnące, siły tnące – brzmi groźnie? Bez obaw! Pokażemy krok po kroku, jak przejść przez to zadanie, a na końcu rozwiążemy przykład z dokładnymi obliczeniami i wykresem.
Oblicz reakcje w podporach, momenty gnące, siły tnące i siły osiowe, a następnie wykonaj wykres.
2. Zamiana Siły Ciągłej na Siłę Skupioną – Czyli od Chaosu do Porządku!
Jak zamienić siłę ciągłą na siłę skupioną?
Zamiana siły ciągłej na siłę skupioną to jak przekształcenie śnieżnej zaspy na kilka porządnych kul śnieżnych – prościej jest celować!
Siła ciągła o wysokości 2 kN/m na długości 5 m to, jak łatwo policzyć, całe 10 kN (pole prostokąta: 2 kN/m × 5 m = 10 kN). Teraz będzie prościej, bo pracujemy z jedną, konkretną siłą, a nie „rozproszoną mgłą nacisku”.
2.1. Obliczenie Reakcji w Podporach – ruszamy z miejsca!
To oznacza, że od teraz przy obliczaniu reakcji w podporach zamiast siły ciągłej mamy siłę skupioną, której wartość jest równa 10kN. Po takim zastąpieniu siły ciągłej przez siłę skupioną w zadaniu można by powiedzieć nic się nie zmienia. Ta siła skupiona powoduje dokładnie taki sam nacisk na podpory przez co reakcje w podporach nadal będą dokładnie takie same, ale przyznaj, że znacznie przyjemniej prowadzić obliczenia mając jedną prostą siłę niż jakiś obszar siły ciągłej :)
Dopiero teraz po zastąpieniu siły ciągłej przez siłę skupioną możemy przejść do obliczenia reakcji w podporach.
W przypadku obliczania reakcji w podporach do dyspozycji mamy trzy równania. Suma wszystkich sił na osi X, Y oraz suma momentów względem dowolnego punktu jest równa zero. Jeśli chodzi o reakcje w podporach to bardzo dokładnie wytłumaczyłem w moim wcześniejszym artykule. Link poniżej https://fizyka-kursy.pl/blog/reakcje-w-belkach
Reakcje w podporach obliczyłem poniżej:
3. Siły Wewnętrzne: Jak Obliczyć Moment Gnący i Siły Tnące?
Jak już mamy obliczone reakcje w podporach to następnie obliczymy siły wewnętrzne. W tym celu każdy z przedziałów musimy tak symbolicznie przeciąć. W tej belce mamy dwa przedziały stąd te dwa przecięcia poniżej.
Następnie musimy ustalić czy zadanie będziemy obliczać idąc od strony prawej do lewej czy na odwrót. Ja proponuje rozwiązać je idąc od strony lewej do prawej. W takim układzie momenty kręcące zgodnie z ruchem wskazówek zegara są dodatnie. Jeśli natomiast chodzi o siły tnące to dodatnie są te, które mają zwrot do góry (spójrz na rysunek poniżej).
Jak już wybraliśmy, od której strony zaczniemy obliczenia to następnie to co jest po prawej stronie przecięcia musimy zasłonić kartką.
Od tego momentu obliczając pierwszy przedział interesuje nas tylko to co jest nie zasłonięte na grafice powyżej.
3.1. Zamiana Siły Ciągłej na Skupioną – Jeszcze Raz!
Czy tak od razu możemy przejść do obliczenia momentu gnącego? Absolutnie nie:) Zawsze jak masz w zadaniu do czynienia z siłą ciągłą to najpierw musisz ją zastąpić przez siłę skupioną (tak jak na rysunku poniżej).
Obliczenie wartości tej siły jest bardzo proste. Oblicza się to tak jak byśmy obliczali pole powierzchni prostokąta. Wysokość tego prostokąta jest równa 2kN/m a długość do przecięcia oznaczyliśmy literka X. W takim razie siła Q1=2x.
Moment gnący na pierwszym przedziale jest funkcją kwadratową.
W następnym kroku musimy obliczyć wartość momentu gnącego na początku i na końcu przedziału. Za X musimy podstawić 0 oraz 5.
Obliczenie Ekstremum Funkcji Momentu Gnącego
Jak w obliczeniach otrzymujemy funkcję kwadratową to niestety na tych naszych obliczeniach dla momentu gnącego nie możemy zakończyć. Trzeba jeszcze obliczyć gdzie znajduje się ekstremum. Oprócz tego jeśli wyjdzie nam, że ekstremum jest w naszym przedziale to trzeba jeszcze obliczyć wartość w tym ekstremum. Jak się oblicza ekstremum funkcji? Trzeba wziąć naszą funkcję, zrobić z niej pochodną i przyrównać do zera.
Z tych obliczeń wyszło, że ekstremum naszej funkcji jest w miejscu gdzie X jest równy 1,25m. Wcześniej już ustaliliśmy, że nasz pierwszy przedział mieści się od 0-5m, a to oznacza, że ekstremum które jest w miejscu gdzie x=1,25m znajduje się w naszym przedziale. Jeśli tak to trzeba obliczyć jaką wartość osiąga moment gnący w ekstremum. W tym celu do funkcji momentu gnącego w miejsce x wstawiłem 1,25m. Wyszło mi, że moment gnący w ekstremum jest równy 1,6kNm (patrz wyżej).
4. Obliczenie Siły Tnącej – Krótki Przewodnik
Właśnie wykonaliśmy wszystkie obliczenia dla momentu gnącego na pierwszym przedziale. Czas zająć się siłą tnącą. Jak obliczamy siłę tnącą? Można to zrobić na dwa sposoby. Można zrobić pochodną z momentu gnącego (tak zrobiłem w poprzednim zadaniu) lub można skorzystać z naszej ściągawki którą wkleiłem ci jeszcze raz poniżej. Jeśli obliczamy zadanie od lewej do prawej to wszystkie siły, które są prostopadłe do belki i mają zwrot do góry są siłami dodatnimi. Te które są skierowane do dołu mają zwrot ujemny. Wystarczy tylko wypisać takie siły pamiętając o znakach i to będzie siła tnąca.
Zobacz poniżej. Tutaj wykonałem te obliczenia.
Następnie trzeba obliczyć wartość siły tnącej na początku i na końcu przedziału. Z tego powodu za x podstawiłem najpierw 0 ( początek przedziału) i wyszło mi, że siła tnąca wówczas jest równa 2,5kN. W następnej linijce za x podstawiłem 5m( koniec przedziału) i wyszło mi, że siła tnąca wówczas jest równa -7,5kN. Po Tych wynikach na sile tnącej widać, że funkcja przechodzi z wartości dodatnich na wartości ujemne. To miejsce, w którym siła tnąca przecina oś X już wcześniej obliczyliśmy. Siła tnąca jest pochodną z momentu gnącego. Skoro tak to pamiętaj, że pochodna zawsze przechodzi przez oś x-ów w miejscu, w których funkcja momentu gnącego ma ekstremum.
5. Drugi Przedział: Od 5 m do 10 m – Dalsze Obliczenia
W pierwszym przedziale wszystko co trzeba było już obliczyliśmy. Czas przejść do drugiego przedziału. W tym celu wszystko co jest po prawej stronie przecięcia trzeba sobie zasłonić. Nasz drugi przedział mieści się od 5 do 10m.
Już bez większego tłumaczenia poniżej przedstawiam obliczony moment gnący.
A następnie musimy obliczyć wartość momentu gnącego na początku i na końcu drugiego przedziału.
Moment gnący załatwiony. Następnie trzeba obliczyć siłę tnącą. Zerknij niżej.
6. Wykresy Momentu Gnącego i Sił Tnących – Czas na Wizualizację
Mamy już wszystkie niezbędne informacje do tego, żeby wykonać porządny wykres.
7. Podsumowanie: Co Daje Nam Taka Analiza?
Gratulacje! Teraz masz pełen zestaw obliczeń, który pozwala zrozumieć jak różne siły i momenty wpływają na belkę. Dzięki zamianie siły ciągłej na skupioną obliczenia były prostsze, a metoda cięć pozwoliła na przeanalizowanie sił wewnętrznych w każdym przedziale.
Jeśli masz ochotę na więcej zadań tego typu, zapraszam na mój kanał na YouTube, gdzie znajdziesz pełne widea z rozwiązań takich zadań: Kliknij tutaj, aby obejrzeć
Oprócz tego, zapraszam do mojego kursu. Znajdziesz tutaj mnóstwo tego typu rozwiązanych zadań
https://fizyka-kursy.pl/kurs/mechanika-techniczna-1b
