Rama - zadanie - mechanika

Cześć! Skoro trafiłeś na mojego bloga to znaczy, że chcesz nauczyć się obliczać ramy! Świetnie trafiłeś, ponieważ ja nie mam zamiaru pisać zawile, jak to często spotykamy w książkach. Postaram Ci się to opowiedzieć tak, żebyś naprawdę się tego nauczył. Daj mi szansę:)

Poniżej treść zadania oraz rysunek ramy, którą mamy rozpatrzyć tym razem.  Oprócz tego zamieściłem całe rozwiązanie wraz z wytłumaczeniem na moim kanale YouTube. Poniżej link do tego zadania.  https://www.youtube.com/watch?v=8ll3WnkgHPY

Treść zadania: Oblicz i narysuj wykresy sił wewnętrznych

Teraz uważaj, masz przed sobą taką ramę. Wiesz, że trzeba obliczyć reakcje wewnętrzne, ale od czego należy rozpocząć zadanie?

Obliczenia należy rozpocząć od wyznaczenia reakcji w podporach (to są te czerwone siły na rysunku poniżej).

O co tutaj chodzi z tymi reakcjami? Pamiętasz jeszcze trzecią zasadę dynamiki Newtona? Jeśli nie to na szybko przypomnę. Jeśli miałeś okazję kogoś uderzyć ręką, np. w twarz, to wiesz, że na skutek uderzenia to Ciebie zabolała ręka, natomiast przeciwnika twarz (wiem trochę dziwny przykład, ale akurat teraz tylko taki mi przyszedł do głowy). To oznacza, że każda AKCJA generuję REAKCJĘ. I tak samo w każdym innym układzie również w naszej ramie. Z tego powodu w podporach konstrukcji budowlanej muszą pojawić się reakcje, które są odpowiedzią na przyłożoną do układu siłę. W każdej podporze przegubowo nieprzesuwnej generują się dwie reakcje. Na osi X i na osi Y. Natomiast podpora przegubowo przesuwna generuje tylko jedną reakcję na osi Y. Narazie nie przejmuj się zwrotami tych sił. Jeśli obraliśmy zły zwrot to w obliczeniach wynik wyjdzie z minusem, a to będzie oznaczać, że zwrot powinien być przeciwny. Nawiązałem do zwrotu sił, prawda? A więc czas ustalić dodatni zwrot sił i momentów w układzie. Poniżej zwroty, które będę uznawał za dodatnie. Pewnie zastanawiasz się czy można przyjąć przeciwny zwrot za dodatni. Odpowiedź myślę, że Cię ucieszy :)  - Można, jak najbardziej!

Ok. A teraz pytanie: jak obliczyć wartości tych reakcji? To jest układ budowlany prawda? Na czym nam zależy budując most? A na tym, żeby się on nie ruszał i nie przemieszczał prawda? A żeby układ się nie ruszał i nie przemieszczał to jaki warunek musi być spełniony? Na pewno suma wszystkich sił na osi X i na osi Y musi być równa zero. Co by się stało gdyby nie była równa zero? Układ oczywiście zacząłby się przemieszczać, a tego przecież nie chcemy. Ale czy to są jedyne warunki? A no nie! Układ może się również przemieszczać tworząc moment sił. W takim razie również suma wszystkich momentów sił w układzie względem jakiegokolwiek punktu musi być równia zero. To są 3 warunki, z których możemy skorzystać obliczając wartości reakcji w podporach. Wypiszmy je!

Siły, które będą miały zwrot taki jak na ściągawce powyżej będą z plusem, a te które przeciwny będą z minusem. Tak samo z momentami siły.

Poniżej rozwiązanie.

Dobra! A dlaczego reakcja H_a jest równa zero? Odpowiedź jest prosta. A  dlatego, że suma wszystkich sił na osi X musi być równa zero, prawda? ( to jest ten warunek, o którym pisałem nieco wyżej). Jedyna siła jaką mamy na osi X to właśnie reakcja H_a no i zgodnie z zasadą przyrównujemy ją do zera. Jak już mamy wyznaczone reakcje to następnie musimy obliczyć siły wewnętrzne tzn. moment gnący i siłę tnącą. Do tego celu potrzebujemy taką małą podpowiedź (tak żebyśmy wiedzieli czy dany moment gnący będzie dodatni czy ujemy i tak samo z siłą tnącą i osiową).

W przypadku sił wewnętrznych, „ściągawka” powyżej,  jest wyznacznikiem tego kiedy dany moment czy siła jest dodatnia. Dobra! Jak już to wiesz to przejdźmy do analizowania układu. Zacznijmy od przedziału <A-C). Cała reszta narazie nas nie interesuje, dlatego resztę układu zasłoniłem.

Przedział <A-C) mieści się w przedziale od <0-2)m

Symbolicznie przecinamy przedział A-C w odległości X od początku, tak jak na zdjęciu powyżej. Następnie zanim zaczniesz cokolwiek robić, a w analizowanym układzie masz siłę ciągłą to najpierw zamień ją na siłę skupioną i umieść dokładnie w środku ciężkość siły ciągłej, jak na zdjęciu poniżej.

Wartość siły skupionej jest równa Q=6kN/m*x

 A następnie obliczamy jaki moment gnący tworzą siły w danym przedziale względem symbolicznego przecięcia.

Moment gnący na pierwszym przedziale ma charakter funkcji kwadratowej. W kolejnym kroku, jak już otrzymamy funkcję momentu gnącego w analizowanym przedziale, musimy obliczyć wartość momentu na początku i końcu przedziału.

Następnie, jeśli w danym przedziale masz funkcje kwadratową to dodatkowo musisz sprawdzić czy ekstremum funkcji znajduje się w analizowanym przedziale czy nie. Pamiętasz jeszcze jak się wyznaczało ekstremum funkcji? Do tego celu wykorzystuje się pochodną funkcji i przyrównuje ją do zera.

Poniżej obliczenia:

Ok. Pierwszy przedział mamy już przeanalizowany. Teraz dokładnie tak samo przeanalizujemy drugi przedział <D-C), który mieści się od <0-4)m.

 Tak jak w pierwszym przedziale również i w drugim musimy go tak „hipotetyczne” przeciąć w odległości „x” od początku. I tutaj uwaga! Ten przedział analizujemy od prawej do lewej więc początek układa jest tym razem w punkcie „D”. Postępowanie jest dokładnie takie same jak w pierwszym przedziale tzn. najpierw zamieniamy obciążenie ciągłe na skupione. A następnie obliczamy moment gnący względem przecięcia. Mając już funkcję można obliczyć moment gnący na początku i na końcu przedziału. Następnie sprawdzamy czy ekstremum funkcji znajduje się w analizowanym przedziale. W tym przypadku wyszło, że ekstremum jest w odległości 2,5m od początku układu. Cały przedział ma długość 4m więc ekstremum jest w przedziale. Wartość momentu gnącego w ekstremum wynosi 18,75kNm.

Z momentu gnącego został nam jeszcze trzeci przedział.

Ok. momenty gnące mamy już policzone teraz musimy obliczyć siły tnące. Poniżej przesyłam obliczenia.

Dokładnie tak samo musimy obliczyć siły osiowe. Poniżej obliczenia:

Jak już obliczyliśmy wszystkie momenty gnące siły tnące i siły osiowe to można w końcu zrobić wykresy. Poniżej przesyłam wyniki: