Pojemność kondensatora płaskiego. Wyprowadzenie wzoru
W tym artykule wyprowadzę wzór na pojemność kondensatora płaskiego. Zacznę trochę niestandardowo, ponieważ już na samym początku pokażę rozwiązanie, czyli to do czego w tym wyprowadzeniu będziemy dążyć.
Rzadko mi się zdarza żeby już na samym początku pokazać rozwiązanie, ale jestem przekonany, że z tym wzorem miałeś już okazję się zapoznać czy to na fizyce, czy może właśnie na teorii pola elektromagnetycznego, a zawsze warto pokazać to co już się zna. To zawsze pomaga w dalszej przeprawie :)
Zastanówmy się teraz skąd się bierze taki wzór? Czy znasz może jeszcze jakiś wzór, za pomocą którego można by obliczyć pojemność kondensatora? Jest jeszcze jeden wzór na pojemność, który koniecznie musisz pamiętać. Zerknij poniżej.
Jak widzisz w tym wzorze mamy napięcie. Należy tam wstawić napięcie jakie panuje wewnątrz kondensatora płaskiego.
Pamiętasz jeszcze w jaki sposób można obliczyć napięcie? Z jakiego wzoru należy skorzystać?
W kursie teoria pola elektromagneczycznego cz.1 pokazywałem wyprowadzenie. Poniżej screen
Żeby obliczyć napięcie między dwoma punktami (w naszym przepadku między dwoma okładkami) trzeba skorzystać z powyższej całki. Mamy tam iloczyn skalarny między dwoma wektorami. Iloczyn skalarny zawsze można zastąpić przez iloczyn długości obu wektorów i cosinusa kąta alfa między nimi.
Zauważ, że we wzorze na napięcie mamy wartość długości wektora natężenia. Chodzi o natężenie między okładkami kondensatora. Z czego składa się natężenie między okładkami kondensatora?
Po rozpisaniu ewidentnie widać, że na natężenie pola elektrycznego wewnątrz kondensatora wpływa pole pochodzące od okładki dodatniej i od okładki ujemnej. Wektory mają dokładnie taki sam zwrot i kierunek a to oznacza, że można długości tych wektorów do siebie po prostu dodać.
Ew=E++E-
Właśnie pojawił się kolejny problem. W jaki sposób obliczyć natężenie pola elektrycznego a właściwie jego wartość od okładki kondensatora? Najlepiej skorzystać z prawa Gausa. Omówiłem to prawo we wcześniejszym artykule https://fizyka-kursy.pl/blog/prawo-gaussa Jeśli natomiast potrzebowałbyś policzyć jakieś zadania to zapraszam do mojego kursu z Teorii pola elektromagnetycznego cz.2. Poniżej screen przypominający to wyprowadzenie.
Właśnie poznaliśmy wzór na wartość natężenia pochodzącego od jednej okładki. My natomiast w kondensatorze mamy dwie okładki. Dlatego trzeba to do siebie dodać.
Wartość natężenia wewnątrz kondensatora płaskiego można obliczyć z powyższego wzoru. W tym wzorze w liczniku mamy gęstość powierzchniową ładunku. Gęstość powierzchniowa to nic innego jak ilość ładunku podzielona przez pole powierzchni. Wstawmy to do wzoru!
Udało nam się wyprowadzić wzór na wartość natężenia wypadkowego. Wstawmy ten wzór do wzoru na napięcie i dokończmy obliczenie napięcia.
Skąd wiem, że kąt przy kosinusie musi być równy zero? Tak musi być dlatego że kąt między natężeniem a przemieszczeniem ( przemieszczamy się od okładki dodatniej od ujemnej) jest równy zero. Mają dokładnie taki sam kierunek i zwrot. Rozwiązanie powyższej całki to prościzna. Sam z resztą zobacz.
Wow, udało nam się wyprowadzić wzór na napięcie między okładkami kondensatora płaskiego. Potrzebowaliśmy to żeby wprowadzić to do nowego wzoru na pojemność kondensatora. Zobacz pod spodem co się stało po wprowadzeniu napięcia do wzoru. Otrzymaliśmy dzięki temu wzór na pojemność kondensatora płaskiego:) Koniec wyprowadzenia.
Więcej na ten temat znajdziesz w moim kursie z Teorii Pola Elektromagnetycznego