Iloczyn wektorowy w fizyce – jak znaleźć wektor prostopadły?
Artykuł o iloczynie wektorowym w fizyce to coś, co każdemu miłośnikowi liczb i wektorów może się przydać! Poniżej znajdziesz przystępne wyjaśnienie wraz z humorem, praktycznym przykładem i rozwiązaniem. Zaczynajmy!
Treść zadania – iloczyn wektorowy krok po kroku
Na pierwszych zajęciach z fizyki wykładowca napisał, że studenci mają znaleźć wektor, którego długość wynosi √2, wiedząć o tym, że jest on prostopadły do do x=(1, 2, 1) oraz y=(2, -1, 2).
W zadaniu poproszono nas o znalezienie współrzędnych wektora prostopadłego do dwóch wektorów – x i y. Mała komplikacja? Otóż nie, bo ten nowy, prostopadły wektor musi mieć długość równą... tak, zgadłeś, √2
Dwa sposoby na rozwiązanie (ale jeden lepszy!)
- Iloczyn skalarny – nie polecamy! To jak iść do sklepu po chleb na czworaka, gdy można dojść na dwóch nogach.
- Iloczyn wektorowy – lepsza opcja, bo daje nam wektor prostopadły w prosty sposób. Wystarczy stworzyć macierz z wektorami i gotowe!
Jak zbudować macierz?
Zawsze gdy chcesz otrzymać współrzędne wektora prostopadłego to najlepiej skorzystać z iloczynu wektorowego, ponieważ on produkuje wektor prostopadły w naprawdę bardzo łatwy sposób. Wystarczy zbudować macierz jak poniżej
Macierz do obliczeń – metoda Sarrusa
Na samej górze trzeba wpisać wersory i, j, k a dwa piętra niżej współrzędne obu wektorów. Jak najłatwiej rozwiązać tę macierz? Moim zdaniem najlepiej skorzystać z metody Sarrusa . Wystarczy tylko dopisać obok dwie pierwsze kolumny jak niżej:
Po czym wymnożyć wszystko na krzyż. Idąc po zielonych przekątnych wyrażenia są dodatnie a po czerwonych ujemne. Zerknij poniżej:
Otrzymaliśmy tutaj współrzędne wektora prostopadłego. Na uwagę zasługuje sposób zapisu wektora. Współrzędne wektora można podawać z wersorami i, j, k albo z przecinkami w taki standardowy sposób.
Oba zapisy są dopuszczalne i są poprawne. W taki oto sposób otrzymaliśmy współrzędne wektora, który na pewno jest prostopadły do dwóch wcześniejszych, ale to niestety nie był jedyny warunek w tym zadaniu. Oprócz tego jest napisane, że ten wektor ma mieć długość równą √2. Sprawdźmy jak długi jest ten nasz wektor.
W obliczeniach nam wyszło, że ten wektor, który w tych obliczeniach otrzymaliśmy, jest o 5 razy za długi. W tej sytuacji bierzemy współrzędne wektora i dzielimy je przez 5. Wektor o współrzędnych (1,0,-1) ma długość √2 i jest prostopadły do obu wcześniejszych wektorów.
Dwa rozwiązania – wektor w górę i wektor w dół
A teraz jeszcze jeden temat. Zobacz na grafikę poniżej. Z tej grafiki widać ewidentnie, że możemy mieć w tym zadaniu dwa rozwiązania. Pierwsze, gdy wektor jest skierowany do góry a drugie rozwiązanie oczywiście gdy wektor jest przeciwnego zwrotu.
Tylko jak otrzymać to drugie rozwiązanie? Są dwie metody - jedna długa, a druga bardzo krótka. Zacznę od tej dłuższej.
Wektor przeciwnie skierowany otrzymałbyś przestawiając kolejność wektorów w macierzy tak jak poniżej. Ta metoda wiązałaby się po raz kolejny z tymi samymi dość długimi obliczeniami.
Druga metoda jest znacznie krótsza i mówi ona o tym, że jak chcesz otrzymać wektor przeciwnie skierowany to musisz zwyczajnie zamienić znaki we współrzędnych wektora. Mam tu na myśli to, że to co było wcześniej dodatnie zrobić ujemne, a to co było ujemne zrobić dodatnie i to wszystko. Jeśli tak to wektor przeciwnie skierowany, który również jest prostopadły do dwóch wcześniejszych, ma następujące oznaczenia. (-1,0,+1)
Podsumowanie – rozwiązania zadania z iloczynu wektorowego
Na koniec krótkie przypomnienie: kiedy potrzebujesz wektora prostopadłego, pamiętaj o iloczynie wektorowym. Macierz, metoda Sarrusa i odrobina matematycznej magii załatwią sprawę.
Sprawdź więcej na YouTube i kursie online!
Chcesz więcej przykładów i wyjaśnień? Zapraszam na mój kanał YouTube i do kursu online z wektorów, gdzie znajdziesz jeszcze więcej praktycznych zadań.
YouTube: Iloczyn wektorowy - Wektor prostopadły
Kurs online: Wektory i ruch po okręgu
