Prawo Hooke’a i jego Zastosowania w Wytrzymałości Materiałów - wyprowadzenie wzoru

Prawo Hooke’a z wytrzymałości materiałów nie ma nic wspólnego z kapitanem Hookiem z "Piotrusia Pana". Jest to jedno z częstszych pytań na pierwszych wykładach po weekendzie :) Najważniejszą część mamy już wyjaśnioną i zajęło to dosłownie chwilę, więc można przejść do meritum.

I tutaj też mam dla Ciebie bardzo dobrą informację. Prawo Hooke’a jest naprawdę bardzo proste i potrzebuje tylko chwili, żeby Ci to wytłumaczyć. Pan Robert Hooke zaobserwował bardzo prostą zależność, którą następnie przełożył na wzory matematyczne. Nie była to zbyt skomplikowana sprawa. Czasami wyprowadzanie wzorów bywa prawdziwą udręką, ale w tym przypadku zarówno samo spostrzeżenie zależności, jak i wyprowadzenie wzoru było bardzo proste. Zaraz sam się o tym przekonasz.

Prawo Hooke’a i Sprężystość Materiałów

Robert Hooke rozciągał różnego rodzaju materiały. Zauważył on, że przy niewielkich rozciągnięciach materiałów, przyłożenie dwukrotnie większej siły powoduje dwukrotnie większe wydłużenie. Trzykrotnie większa siła to trzykrotnie większe wydłużenie. Zaobserwował on proporcjonalność, co w kontekście siły sprężystości można zapisać jako:

F~Δl

W mechanice bardziej przydatne jest operowanie naprężeniem (σ) i odkształceniem względnym (ϵ), niż siłą i wydłużeniem.

Przejście do Naprężenia i Odkształcenia Względnego

Proporcjonalność nadal jest zachowana, gdy zamiast siły wstawimy naprężenie, a zamiast wydłużenia - wydłużenie względne, czyli te dane, które bardzo lubią mechanicy. W ten sposób możemy zapisać zależność:

Już prawie mamy taką postać, na jakiej nam zależy. Mamy jednak nadal mały problem. Żeby cokolwiek policzyć ze wzoru, potrzebujemy równanie, a to, co widzisz powyżej, nadal nie jest równaniem. Równanie musi mieć w sobie znak „=”. Pierwsze, co przychodzi do głowy, to może po prostu zamienić znak proporcjonalności „~” znakiem „=” J. Pytanie tylko, czy faktycznie moglibyśmy tak zrobić? Po lewej stronie mamy paskale, a po prawej jednostkę bezwymiarową, więc między tymi oznaczeniami nie możemy wprowadzić znaku „=”, bo lewa strona nie równa się prawej.

Moduł Yanga i Wyprowadzenie Wzoru

Co innego, gdyby wrzucić współczynnik proporcjonalności przy wartości bezwymiarowej, którego jednostką byłyby paskale. Taki współczynnik nazywa się modułem Yanga (E). W takiej sytuacji już jak najbardziej możemy wprowadzić znak „=” do naszego układu:

Mamy tutaj do czynienia z funkcją liniową, a moduł Yanga jest współczynnikiem kierunkowym prostej. Z tego wynika, że aby wyznaczyć moduł Yanga funkcji liniowej, wystarczy na osi Y zaznaczyć naprężenie, a na osi X względne wydłużenie materiału i w ten sposób odczytać z regresji liniowej, ile wynosi moduł Yanga badanej substancji.

W moim kursie online znajdziesz mnóstwo zadań, teorii i wyprowadzeń wzorów. Zapraszam:) Wytrzymałość Materiałów

Zastosowanie Prawa Hooke’a w Wytrzymałości Materiałów

Prawo Hooke’a jest fundamentalne w wytrzymałości materiałów. Dzięki niemu możemy obliczać zadania związane z siłą sprężystości i przewidywać zachowanie materiałów sprężystych pod wpływem różnych obciążeń. Materiały sprężyste, które podlegają prawu Hooke’a, są kluczowe w wielu aplikacjach inżynierskich i konstrukcyjnych. Zrozumienie i zastosowanie tego prawa pozwala na projektowanie bezpiecznych i efektywnych struktur, co jest nieocenione w inżynierii i budownictwie.