Równanie opisujące ruch dowolnej cząstki w ruchu harmonicznym można przestawić za pomocą poniższego wzoru. Jest to zwykła funkcja sinus, więc jej przebieg to po prostu sinus i wygląda jak poniżej.

Y(t,x)=A*sin(w*t-k*x)

A- Amplituda

w - szybkość kątowa

k – liczba falowa

Teraz przeanalizujemy wychylenie cząstki M, ale zanim to zrobimy to najpierw chciałbym napisać, że wychylenie cząstki drgającej w początku układu współrzędnych przedstawia się równaniem: Y=A*sinw*t.

Jeśli analizujemy cząstkę M to widzimy, że jest ona opóźniona o czas t’ , dlatego do tej cząstki można napisać następujące równanie:

Y=A*sinw*(t-t’)

Jak obliczamy szybkość w ruchu jednostajnym? V=S/t. U nas przemieszczenie jest równe x, a czas równy  t’

V=x/t’

Po przekształceniu otrzymujemy, że t’=x/V. Podstawmy to do wzoru.

Y=A*sinw*(t- x/V)

Y=A*sin(wt- w/V*x)

Szybkość kątowa to nic innego jak:

 w=2π/T

Jeśli natomiast chodzi o fale to szybkość ogólnie można obliczyć dzieląc długość fali (podajemy np. w metrach, czyli jednostka długości) przez czas potrzebny do przebycia jednej długości. Ten czas to inaczej okres.

V=l/T

Po podstawieniu powyższych danych otrzymujemy następującą postać

Y(t,x)=A*sin(w*t-k*x)

Myślę, że po skromnej dawce teorii można obliczyć jakieś zadanie. Poniżej treść:

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Treść zadania: Na zajęciach z fizyki otrzymałeś następujące zadanie: Oblicz ile jest równe wychylenie z położenia równowagi cząstki znajdującej się w odległości x=l/12 od głośnika w chwili t=T/6. Przyjmij, że amplituda drgań wynosi 5cm.

Przedstawmy tę sytuację z zadania w sposób graficzny. A więc powiedzmy, że ustawiamy głośnik jak najniżej. Włączamy muzykę przez co słyszymy dźwięk, który można opisać za pomocą funkcji sinus.

W tym zadaniu mamy obliczyć ile jest równy Y w sytuacji gdy przebędziemy drogę równą x=l/12, natomiast czas potrzeby na przebycie takiego odcinka jest równy 1/6 okresu t=T/6. Hmmm… czy to nie brzmi Ci jakoś znajomo? Masz obliczyć ile jest równy Y , a znasz ile jest równy X. Kłaniają się działania na funkcjach:) Wystarczy tylko znać funkcję dźwięku, podstawić dane i obliczyć Y.

Funkcja dźwięku przestawia się poniższym wzorem ( wyprowadziliśmy to wcześniej)

Y(t,x)=A*sin(w*t-k*x)

„A” to inaczej amplituda. Amplitudę znamy z treści zadania. Jest ona równa 5cm. „w” to szybkość kątowa. Nie znamy z treści zadania, ale bez problemu można rozpisać, że jest to 2π/T. Stałej „k” też nie znamy z treści zadania, ale można to rozpisać, że jest to 2π/l. (te zależności wyprowadziłem przed zadaniem).

Dosyć  fajnie to rozpisaliśmy. Możemy teraz podstawić dane:

Po podstawieniu danych część rzeczy nam się po skracała. To, co mamy w nawiasie przy sinusie to wartość w radianach. O tym koniecznie musisz pamiętać. Teraz trzeba to przeliczyć na stopnie.  Do tego celu wykorzystamy proporcję. Rozwiązanie poniżej

Jak to rozumieć? 2π radianów to inaczej 360^o (to jest pierwszy poziom proporcji) piętro niżej w proporcji pod radianami wstawiamy autentyczne radiany z naszego zadania. Chcemy to przeliczyć na stopnie, dlatego pod wartością w stopniach wstawiamy x. Mnożymy wszystko na krzyż i rozwiązujemy proste równania. Otrzymaliśmy, że x jest równe 30^o. 0,523 radiana to inaczej 30^o.

Y(t,x)=5sin(30^o)=0,025cm

Zapraszam do mojego kursu z akustyki